페르마의 소정리: 나머지를 모두 곱하면 거듭제곱이 보입니다 《나머지에서 시작하는 정수론》 · 4/8편 · 페르마의 소정리 0. 서론: 큰 거듭제곱을 작은 계산으로 바꾸려면 $3^{100}$은 손으로 계산하기에도 큰 정수입니다. 하지만 만약 11로 나눈 나머지만 필요하다면 그 정수 전체를 만들 이유가 없습니다. 지금까지 따라오셨다면, 느낌이 오시죠? 배수판정법에서 사용했던 원리를 이번에는 거듭제곱에 적용하는 것입니다. 만약 $3^{10}$을 11로 나눈 나머지가 1이라는 사실을 알고 있다면 어떻게 될까요? 3을 백 번 곱하는 대신, 열 번씩 곱한 덩어리를 열 개 만들면 됩니다. ...

최대공약수의 비밀: 나눗셈의 끝에서 시작되는 역주행 《나머지에서 시작하는 정수론》 · 3/8편 · 최대공약수의 비밀 0. 서론: 학교에서 배운 최대공약수부터 최대공약수라고 하면 어떤 계산이 먼저 떠오르시나요? 두 수를 나란히 적고, 공통으로 나누어떨어지는 수를 왼쪽에 쓰며 아래로 내려가던 풀이가 익숙할 겁니다. 왼쪽에 적은 수만 직선으로 곱하면 최대공약수, 마지막 줄의 두 수까지 ㄴ자로 곱하면 최소공배수가 되던 그 계산입니다. 이번 편은 그 풀이에서 출발하겠습니다. 그리고 교육과정에서도 바로 뒤에 나오는 소인수분해로 같은 답을 얻는 이유를 짚은 뒤, 두 수의 소인수를 모두 찾지 않고 최대공약수를 구하는 유클리드 호제법으로 넘어가겠습니다. ...

배수 판정법의 원리: 20과 21의 차이 하나가 만드는 규칙 《나머지에서 시작하는 정수론》 · 2/8편 · 배수 판정법의 원리 0. 서론: 잘 쓰이는 규칙을 직접 만들 수 있을까요 앞 편에서 203을 7의 규칙으로 바꾸면 $20-2\times3=14$가 되었습니다. 286을 13의 규칙으로 바꾸면 $28+4\times6=52$가 되었습니다. 둘 다 작은 수를 보고 큰 수의 배수 여부를 판단했습니다. 그런데 숫자를 바꾸었는데도 어떻게 같은 답을 얻을까요? 이번 편에서 다룰 정보는 나머지입니다. 나누는 수를 정하고 나면, 어떤 수들은 크기가 달라도 같은 나머지를 가집니다. 이 관계를 이용하면 큰 자릿값을 1이나 $-1$처럼 간단한 값으로 바꿀 수 있습니다. 7·13·17·19의 서로 다른 계수도 같은 원리에서 얻습니다. ...

배수판정법: 익숙한 끝자리에서 낯선 17의 배수까지 《나머지에서 시작하는 정수론》 · 1/8편 · 배수 판정법 0. 서론: 기억을 복원하면서 시작해봅시다 2의 배수는 짝수, 5의 배수는 끝자리가 0이나 5. 여기까지는 오래전에 배운 기억이 금방 돌아올 겁니다. 3과 9는 각 자리 숫자를 더했던 것 같습니다. 4와 8은… 솔직히 잘 기억이 안날 수도 있습니다. 어렴풋이 기억에서 끌어내 보자면 끝 두 자리, 끝 세 자리를 보았던 것 같고요. 그런데 7의 배수인지 묻는 순간 손이 멈춥니다. ...

완성된 지도에도 과거와 미래가 있다 ← 13편: 태양계의 경계와 우리의 성간 이웃 · 전체 목차 0. 서론: 지금의 태양계는 원래 자리표가 아니다 열세 편 동안 태양에서 출발해 행성과 위성, 작은 천체와 먼 저장고를 지나 가까운 별 이웃까지 다녀왔습니다. 이제 지도를 책상 위에 놓고 시간축을 돌려 보겠습니다. 모든 세계가 지금 자리에서 만들어져 지금까지 그대로 남았을까요? 먼지에서 행성이 된 과정은 간단한 확대 복사였을까요? 지금의 태양계는 약 46억 년에 걸친 변화의 결과입니다. 가스와 먼지 원반에서 재료가 모였고, 작은 천체들이 성장하고 충돌했습니다. 내부가 녹은 세계에서는 무거운 물질이 중심으로 내려갔습니다. 행성들의 궤도가 바뀌면서 작은 천체 집단도 재배치되었습니다. 살아남은 행성과 운석, 궤도 분포와 시료가 그 역사에 관한 단서입니다. ...

우리 동네의 끝에서 다음 동네의 불빛까지 ← 12편: 혜성과 성간 방문객 · 전체 목차 · 14편: 이 지도는 어떻게 만들어졌고 어떻게 바뀔까? → 0. 서론: 보이저는 나갔는데 태양계 안이라고요? 보이저가 성간 공간에 들어갔다는 소식을 듣고, 태양계 여행을 마쳤다고 생각하기 쉽습니다. 그런데 오르트 구름까지는 훨씬 더 가야 한다는 설명도 나옵니다. 한쪽에서는 태양계를 벗어났다고 하고, 다른 쪽에서는 아직 멀었다고 합니다. 서로 모순되는 뉴스일까요? 두 설명이 다른 경계를 말하고 있습니다. 태양풍이 지배하던 영역의 바깥으로 나갔다는 뜻이라면 보이저의 성간 진입은 맞습니다. 태양에 묶인 먼 소천체들의 영역까지 모두 지나갔다는 뜻이라면 이야기가 달라집니다. 바람의 세력권과 중력으로 묶인 천체들의 영역은 같은 크기도, 같은 모양도 아닙니다. ...

꼬리는 지나온 길을 가리키지 않는다 ← 11편: 세드나와 보이지 않는 행성 · 전체 목차 · 13편: 태양계의 경계와 우리의 성간 이웃 → 0. 서론: 낯선 여행자가 나타나는 밤 혜성을 처음 보면 긴 꼬리부터 눈에 들어옵니다. 영화 속 우주선의 배기가스처럼 보이기 때문에 머리가 달려가는 방향의 뒤로 꼬리가 늘어질 것이라 생각하기 쉽습니다. 그런데 혜성이 태양에서 멀어질 때에는 꼬리가 머리보다 앞서 나아갈 수 있습니다. 꼬리의 방향을 결정하는 주역이 이동 방향이 아니라 태양이기 때문입니다. ...

먼 궤도에서 도착한 네 장의 수수께끼 ← 10편: 카이퍼 벨트의 궤도 지도 · 전체 목차 · 12편: 혜성과 성간 방문객 → 0. 서론: 범인은 보이지 않고 발자국만 남았다 태양계 지도에 빈칸이 있다고 해서 그곳이 비어 있는 것은 아닙니다. 해왕성 바깥의 천체는 스스로 밝게 빛나지 않습니다. 태양빛을 조금 받아 그중 일부를 우리 쪽으로 되돌려 줄 뿐입니다. 거리가 멀어질수록 조명도 약해지고, 되돌아오는 빛도 약해집니다. 수백 AU 바깥의 작은 세계를 찾는 일은 어두운 체육관 끝에서 검은 단추를 찾는 것보다 훨씬 까다롭습니다. ...

태양계 외곽의 점들을 연결하면, 해왕성이 걸어온 길이 보인다 ← 9편: 명왕성 너머의 작은 세계들 · 전체 목차 · 11편: 세드나와 보이지 않는 행성 → 0. 서론: 바깥 태양계 지도에 동심원을 너무 많이 그리지 말자 태양계의 지도를 바깥으로 넓히다 보면 새 이름을 만날 때마다 동심원을 하나씩 추가하고 싶어집니다. 해왕성 다음에는 카이퍼 벨트, 그다음에는 산란 원반, 그다음에는 분리 천체의 고리라는 식입니다. 이 그림은 기억하기 쉽지만, 천체들의 실제 궤도를 이해하는 데는 문제가 있습니다. 타원 궤도는 여러 거리를 오가고, 같은 궤도 크기에서도 기울기와 공명이 다릅니다. 어떤 천체가 어느 집단인지는 거리 하나만으로 결정되지 않습니다. ...